Discrete Math Algebra

Jul 17, 2023

• 交换律
• 结合律
• 消去律：消去非零元
• 吸收律：x◦(x∗y) = x 且 x∗(x◦y) = x
• 分配律：(x∗y)◦z = (x◦z)∗(y◦z) 且 z◦(x∗y) = (z◦x)∗(z◦y)
• 幂等律：xx=x
• 幺元：单位元
• 代数系统：非空集合 S 和 S 上的 k 个一元或二元运算 f1,f2,…,fk 组 成的系统称为代数系统，简称代数，记为 ⟨S, f1, f2, . . . , fk⟩。
• 子代数：
  • B ⊆ S，
  • B 对 f1,f2,…,fk 都是封闭的，
  • B 和 S 含有相同的代数常数。
  • 即证明: 运算封闭，代数常数对应。
  • 子代数总是存在;
  • 最大的子代数是 V 本身;
  • 如果 V 中所有的 代数常数 构成的集合 B 对所有的运算 是封闭的，则 B 构成了 V 的最小子代数;
  • 最大和最小子代数称为平凡的子代数;
  • 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成的子代数称为 V 的真子代数。
• 因子代数/积代数：
  • 设 V1 = ⟨A,◦⟩和 V2 = ⟨B,∗⟩是同类型的代数系统，◦和∗ 为二元运算。在集合 A × B 上定义如下的二元运算 • :∀⟨a1, b1⟩, ⟨a2, b2⟩ ∈ A × B, ⟨a1,b1⟩ • ⟨a2,b2⟩ = ⟨a1 ◦ a2,b1 ∗ b2⟩，称 V = ⟨A×B,•⟩为 V1 和 V2 的积代数，记为 V1 ×V2。这 时也称 V1 和 V2 为 V 的因子代数。
    • 即第一个数来自第一个集合，第二个数来自第二个集合，两组集合内的积，分别按照集合定义得运算运算，得到新的积
  • 保持交换律 (结合律，幂等律)
  • 保持零元
  • 保持可逆和逆元
  • 不保持消去律。
• Isomorphism

• 半群：符合二元运算且可结合
  • 设 V = ⟨S, ◦⟩ 是代数系统，◦ 为二元运算，如果 ◦ 是可结合的，则称 V 为半群;
• 幺半群或独异点：有单位元的半群
  • 设 V = ⟨S,◦⟩是半群，如果 e ∈ S 是关于◦运算的单位元，则称 V 是幺半群或独异点。有时也将独异点记 为 V = ⟨S,◦,e⟩;
• 群：有单位元，可结合，有逆元
• 设 G 为有限群，$a \in G$，则 $a=a^{-1}$ 当且仅当 a 为一阶元或二阶元。
• 设 G 为有限群，则 G 中阶大于 2 的元素有偶数个。
• 置换群：双射 S -> S
  • 对称群：所有 n 元置换构成的集合 S，有 3! 个
  • 轮换：σ(i1) = i2,σ(i2) = i3,…,σ(ik−1) = ik,σ(ik) = i1 (1 < k < n), k 阶轮换，(i1, i2, . . . , ik)
    • 
  • 对换：k = 2
• 子群格：设 G 为群，令 S = {H | H 是 G 的子群} 是 G 的所有子群的 集合，在 S 上定义如下关系 R: ∀A, B ∈ S, ARB ⇔ A 是 B 的子群 则 ⟨S, R⟩ 构成偏序集，成为群 G 的子群格。
• Group
• Coset
• Ring

格和布尔代数