Isomorphism

Jul 17, 2023

Set Theory

# Group Theory

群操作得以保存

给定两个群 (G, ·) 和 (H, ◦),如果存在映射 φ : G → H 使得对任意的 a, b ∈ G,群操作得以保持,即: φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b) 则称群 (G, ·) 同态于群 (H, ◦)。映射 φ 被称为同态映射。

单射

给定群 (G, ·) 和群 (H, ◦),如果存在一种双射 φ : G → H,使得群操作得以保持, 即: 任取 a, b ∈ G, φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b) 称群 G 与群 H 同构,并记为 G∼= H。映射 φ 被称为一种同构映射。

双射
Cayley 定理: 任何有限群 G 都同构于 G 的一个置换群。

如果 ψ : G ?→ H 是一种群同态映射,且 K = Ker ψ,则 K 是 G 的正规子群。设φ : G ?→ G/K 是标准同态,则存在唯一同构映射 η : G/K ?→ ψ(G) 使得 ψ = ηφ, 即 ψ 是 η 和 φ 的复合映射。

# Ring

# Graph

• 同构图：看度数列

# Discrete Math Algebra

• 同态：
  • 设 V1 = ⟨A,◦⟩和 V2 = ⟨B,∗⟩是同类型的代数系统， f : A → B，并且∀x,y ∈ A,f(x◦y) = f(x)∗f(y), 称 f 是 V1 到 V2 的同态映射
  • 即用函数 f 从一个集合 A 中两个数变成的一个数映射到另一个集合 B 的两个数，和群同态相同
  • 单同态：f 是单射函数
  • 满同态：f 是满射函数
    • 这时称 V2 是 V1 的同态像，记为 V1 ∼ V2;
  • 自同态：f 是 V 到 V 的
  • 同构：f 是双射函数